Notes de cours

Remarques préliminaires :

• Si la théorie mathématique ne vous branche pas, vous pouvez passer directement à la section pratique et revenir plus tard sur la théorie, pour comprendre pourquoi tout cela fonctionne.

• Dans ce cours, un scalaire sera écrit normalement (\(x\)) tandis qu’un vecteur sera noté en gras (\(\xx=(x,y)\)). Nous commençons la numérotation par 1 et non par 0.

• 1. Simulation Numérique
  • 1.1. Quelques exemples d’EDP
    • 1.1.1. Thermique
    • 1.1.2. Diffusion d’une onde Wifi dans un appartement (Projet 2017-2018)
      • 1.1.2.1. Modèle
      • 1.1.2.2. Résolution numérique
      • 1.1.2.3. Vous voulez tester ?
    • 1.1.3. Objectifs du cours
  • 1.2. Industrie
    • 1.2.1. Combustion
• 2. Formulations Faibles
  • 2.1. Espaces de Hilbert : rappels
  • 2.2. Formulation Faible
    • 2.2.1. Domaine Physique
    • 2.2.2. EDP (problème fort)
    • 2.2.3. Théorème de Green
    • 2.2.4. Formulation faible
  • 2.3. Théorème de Lax-Milgram
  • 2.4. Espaces de Sobolev
    • 2.4.1. Espace \(\Lo\)
    • 2.4.2. Dérivée faible
    • 2.4.3. Espace de Sobolev \(\Ho\)
  • 2.5. Application au problème modèle
    • 2.5.1. Formulation faible
    • 2.5.2. Existence et unicité
    • 2.5.3. Conclusion
• 3. Éléments Finis Triangulaires
  • 3.1. Méthode de Galerkin
    • 3.1.1. Contexte
    • 3.1.2. Dimension finie
  • 3.2. Espace \(\Pb^1\)-Lagrange
    • 3.2.1. Maillage triangulaire (ou triangulation)
    • 3.2.2. Fonction linéaire sur un triangle
    • 3.2.3. Fonctions linéaires par éléments (= par triangles)
    • 3.2.4. Base de \(\Vh\) : les fonctions de forme
    • 3.2.5. Conclusion
  • 3.3. Assemblage des Matrices
    • 3.3.1. Algorithme « brut-force »
    • 3.3.2. Algorithme d’assemblage
  • 3.4. Calcul des Matrices Élémentaires
    • 3.4.1. Matrices de Masse et de Rigidité
    • 3.4.2. Matrice de masse élémentaire
      • 3.4.2.1. Triangle de référence
      • 3.4.2.2. Triangle quelconque
    • 3.4.3. Matrice de rigidité élémentaire
      • 3.4.3.1. Triangle de référence
      • 3.4.3.2. Triangle quelconque
    • 3.4.4. Second membre (ou RHS ou Membre de droite)
  • 3.5. Matrice Creuse
    • 3.5.1. Format COO
      • 3.5.1.1. Principe
      • 3.5.1.2. Doublons
      • 3.5.1.3. Du COO au Dense
      • 3.5.1.4. Produit Matrice-Vecteur
      • 3.5.1.5. Triplets
      • 3.5.1.6. Conclusion
    • 3.5.2. Format CSR
      • 3.5.2.1. Principe
      • 3.5.2.2. Du CSR au Dense
      • 3.5.2.3. Produit Matrice - Vecteur
      • 3.5.2.4. Conclusion
    • 3.5.3. Du COO au CSR
      • 3.5.3.1. Principe
      • 3.5.3.2. Utilisation
• 4. Conditions aux bords
  • 4.1. Conditions de Neumann hétérogène
    • 4.1.1. Théorie
    • 4.1.2. Implémentation dans le cas \(\Pb^1\)
  • 4.2. Condition de Dirichlet
    • 4.2.1. Homogène
      • 4.2.1.1. Formulation Faible
      • 4.2.1.2. Implémentation
    • 4.2.2. Condition hétérogène
      • 4.2.2.1. Notion de relèvement
      • 4.2.2.2. Relèvement en \(\Pb^1\)
  • 4.3. Condition de Fourier
    • 4.3.1. Problème
    • 4.3.2. Existence et unicité
    • 4.3.3. Matrice de masse sur le bord
    • 4.3.4. Calcul de la matrice
• 5. Avancée
  • 5.1. Erreur comise et convergence
    • 5.1.1. Méthode de Galerkin : Erreur commise
    • 5.1.2. Converge des éléments finis \(\Pb^1\)
  • 5.2. Éléments Finis \(\Pb^2\)