2.5. Application au problème modèle#

2.5.1. Formulation faible#

Considérons un ouvert polygonal connexe \(\Omega\) et le problème suivant

(2.5)#\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{r c l l} -\Delta u + c u & = & f & (\Omega)\\ \dn u & = & 0 & (\GammaN = \Gamma) \end{array} \right.\end{split}\]

Après mutiplication par des fonctions tests et intégrations par partie, nous obtenons la formulation faible de ce problème.

(2.6)#\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in\Ho \text{ tel que }\\ \displaystyle \forall v \in \Ho, a(u,v)=\ell(v) \end{array} \right.\end{split}\]

avec \(a(\cdot,\cdot) \colon \Ho\times\Ho\to\Rb\) et \(\ell(\cdot)\colon\Ho\to\Rb\) définies pas

\[\begin{split}\left\{ \begin{aligned} a(u,v) &= \int_{\Omega}\nabla u \cdot\nabla v+ c\int_{\Omega}uv \\ \ell(v) & = \int_{\Omega}fv \end{aligned} \right.\end{split}\]

2.5.2. Existence et unicité#

Tentons d’appliquer le théorème de Lax-Milgram à cette formulation faible

  1. \(\Ho\) est un espace de Hilbert

  2. \(\ell(\cdot)\) est clairement linéaire (du fait de l’intégrale)

  3. \(a(\cdot,\cdot)\) est bilinéaire, pour la même raison

  4. Continuité de \(\ell(\cdot)\) : prenons une fonction \(v\in\Ho\) :

\[\begin{split}\begin{aligned} \abs{\ell(v)} &= \underbrace{\abs{\int_{\Omega} fv}}_{\PSL{f}{v}}\\ & \leq \normL{f}\normL{v} & \text{Cauchy-Schwarz}\\ & \leq \underbrace{\normL{f}}_{\text{Constant}}\normH{v} & \text{inégalité des normes} \\ \end{aligned}\end{split}\]

  1. Continuité de \(a(\cdot,\cdot)\) : prenons deux fonctions \(u\) et \(v\) de \(\Ho\) :

\[\begin{split}\begin{aligned} \abs{a(u,v)} &= \abs{\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v + c\int_{\Omega} u v}\\ & \leq \underbrace{\abs{\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v}}_{\PSLd{\nabla u}{\nabla v}} + \abs{c}\underbrace{\abs{\int_{\Omega} u v}}_{\PSL{u}{v}} & \text{inégalité classique}\\ & \leq \normLd{\nabla u}\normLd{\nabla v} + \abs{c} \normL{u}\normL{v} & \text{inégalité triangulaire dans} \Lo\\ & \leq \normH{u}\normH{v}+ \abs{c} \normH{u}\normH{v} & \text{inégalité des normes} \\ & \leq (1+c)\normH{u}\normH{v} \end{aligned}\end{split}\]

  1. Coercivité de \(a(\cdot, \cdot)\) : prenons une fonction \(u\in\Ho\) :

\[\begin{split}\begin{aligned} a(u,u) &= \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla u + c\int_{\Omega} u u = \int_{\Omega} \|\nabla u\|^2 + c\int_{\Omega} |u|^2\\ &\geq \min(1,c)\left(\int_{\Omega} \|\nabla u\|^2 + \int_{\Omega} |u|^2\right)\\ &\geq \min(1,c)\normH{u}^2 \end{aligned}\end{split}\]

Toutes les conditions sont réunies : le problème (2.6) admet une unique solution d’après le théorème de Lax-Milgram.

Remark 2.13

Dans la démonstration de la continuité de \(\ell\), n’écrivez pas \(\normL{f}\leq \normH{f}\) car, d’une part nous n’en avons pas besoin, d’autre part, nous ne savons pas si \(f\in\Ho\) !

2.5.3. Conclusion#

Schématiquement, nous avons :

  • Si \(u\) est solution de (2.5) alors \(u\) est solution de (2.6)

  • Le problème (2.6) admet une unique solution qui appartient (au moins) à \(\Ho\)

Remark 2.14

Pourquoi travailler dans \(\Ho\) et non dans \(\Cscr^1(\overline{\Omega})\) ? La question est légitime, d’autant que \(\normH{\cdot}\) est une norme de \(\Cscr^1(\overline{\Omega})\) ! Mais… \(\Cscr^1(\overline{\Omega})\) n’est pas complet pour cette norme et n’est donc pas un espace de Hilbert si on lui adjoint cette norme : le théorème de Lax-Milgram ne pourra alors pas s’y appliquer. Il existe des normes qui complètent \(\Cscr^1(\overline{\Omega})\), mais les hypothèses du théorème de Lax-Milgram sont elles toujours validées avec ces normes ?