2.1. Espaces de Hilbert : rappels#

Definition 2.1

Soit \(V\) un \(\Rb-\) espace vectoriel, alors l’application \(\PS{\cdot}{\cdot}\colon V\times V \to \Rb\) est un produit scalaire si et seulement si elle vérifie, pour tout \(\xx,\yy,\zz\in V\) et tout scalaire \(\alpha\in\Rb\):

  1. \(\PS{\xx}{\yy} = \PS{\yy}{\xx}\)

  2. \(\PS{\xx + \yy}{\zz} = \PS{\xx}{\zz} + \PS{\yy}{\zz}\)

  3. \(\PS{\alpha \xx}{\yy} = \alpha\PS{\xx}{\yy}\)

  4. \(\PS{\xx}{\xx} \in \Rb^+\)

  5. \(\PS{\xx}{\xx} = 0 \Longrightarrow \xx = 0\)

Definition 2.2

Un \(\Rb-\) espace vectoriel \(V\) est dit pré-Hilbertien si il est muni d’un produit scalaire.

Definition 2.3

Soit \(V\) un \(\Rb-\) espace vectoriel, alors l’application \(\norm{\cdot}\colon V \to \Rb\) est une norme si et seulement si elle vérifie, pour tout \(\xx,\yy\in V\) et tout scalaire \(\alpha\in\Rb\):

  1. Séparation : \(\norm{\xx} = 0 \Longrightarrow x = 0\)

  2. Absolue homogénéité : \(\norm{\alpha \xx} = \abs{\alpha}\norm{\xx}\)

  3. Inégalité triangulaire : \(\norm{\xx + \yy} \leq \norm{\xx} + \norm{\yy}\)

Remark 2.1

Un produit scalaire induit une norme sur un espace de Hilbert :

\[\norm{\xx} := \sqrt{\PS{\xx}{\xx}}.\]

Nous rappelons l’inégalité de Cauchy Schwarz:

Proposition 2.1 (Inégalité de Cauchy Schwarz)

Pour tout \(\xx\) et \(\yy\) appartenant à un espace pré-Hilbertien \(V\) :

\[\abs{\PS{\xx}{\yy}} \leq \norm{\xx}\norm{\yy}.\]

Definition 2.4

Un espace pré-Hilbertien \(V\) est un espace de Hilbert si et seulement si il est complet pour la norme \(\norm{\cdot}\) induite par son produit scalaire.

Definition 2.5

Soit \(V\) un espace de Hilbert. L’application \(f:V\times V \to \Rb\) est une forme bilinéaire sur \(V\) si et seulement si, pour tout \(\xx,\yy, \zz\) de \(V\) et \(\alpha\) de \(\Rb\):

  1. \(f(\xx, \yy + \alpha \zz) = f(\xx,\yy) + \alpha f(\xx,\zz)\)

  2. \(f(\alpha \xx + \yy, \zz) = \alpha f(\xx,\zz) + f(\yy,\zz)\)

Theorem 2.1 (Représentation de Riesz)

Soit \(V\) un espace de Hilbert de produit scalaire \(\PS{\cdot}{\cdot}\) et de norme induite \(\norm{\cdot}\). Pour toute forme anti-linéaire continue \(\ell\), il existe un unique \(w\in V\) tel que

\[\ell(v) = \PS{w}{v}, \quad \forall v\in V.\]

De plus, nous avons

\[\norm{w} = \sup_{v\in V\setminus\{0\}}\frac{\abs{\ell(v)}}{\norm{v}}.\]

Remark 2.2

Ce théorème montre que la forme \(\ell\) peut être représentée par un vecteur \(w\) qui est unique. Autrement dit, peu importe \(v\), la quantité \(\ell(v)\) peut se calculer par la seule connaissance du vecteur \(w\) et d’un « simple » produit scalaire.